Хех.
Конечно же ошибся в вычислениях.
В последнем примере получается всего 1,73
В более раннем примерно 2,08.

Что-то тут не так: либо цифры, либо рисунок...
На рисунке - большая ось большого эллипса не меньше 3.
Если учесть, площадь эллипса S=пи*a*b, где a,b - длина полуосей.
У меня вообще получается 1,4227 = (4,1940 - 1,3485)/2 ??
А есть ссылка на параметры стола?

Если взять от потолка оси:
a1=3.3, b1=2.0,
a2=1.3, b2=0.5,
то получается S=2.34.

P.S. Если отталкиваться от рисунка, то более реален вариант:
a1=3.3, b1=2.0,
a2=1.3, b2=1.0,
то получается как раз S=2.08


Это сообщение отредактировал zenker - 18/08/2007, 15:34

А пи/2 "действительно" меньше чем √2, ага? Даже тривиальная нижняя оценка области значений решения (полукруг с радиусом Р) имеет площадь больше, чем ваше "действительное" решение.

Т.е. если говорить нормальным, а не вывернутым языком, то "решение этой задачи не было дано еще на первой странице и оно действительно не равно (2^0.5)*P^2." Оно иное. Больше.

Попробую предложить собственное развитие идеи Сащуна.

Для этого воспользуюсь рисунком, сделанным ipc.
http://www.gambler.ru/foto/foto.php?FSID=5968&FID=80373

Очевидно, что предложенное решение оптимально для случая, когда поверхность стола ограничивается окружностями.
Но из рисунка видно, что площадь предложенного стола можно увеличить. Вот например, не начиная поворот, а продвинув стол вверх до упора, и после этого поворачивать его, одновременно отодвигая назад центр вращения. В этом случае данный стол пройдет вообще не касаясь угла коридора.

Попробуем оптимизировать его форму таким образом, чтобы при повороте он всегда касался угла и одной из стенок коридора.
Для этого внутренную поверхность оставим окружностью, как и ранее, а внешнюю "растянем" до касания с верхней стенкой корридора. При этом образуется эллипс с размером полуосей a и 2*a (где а - ширина коридора). Его площадь:
s = Pi*a*2a = 2*Pi*a^2.
Соответственно площадь половинки эллипса - Pi*a^2.

Из нее нужно вычесть тот же самый сегмент круга, как и на рисунке.
Его площадь - s=1/4*Pi*2*a^2 - a^2 = (Pi/2-1)*a^2

Далее, производя вычитание получим:
S = (Pi-(Pi/2-1))*a^2 = (Pi/2+1)*a^2.

То есть коэффициент получается
Pi/2+1 = 2,57

Достаточно простые вычисления. Надеюсь я в них не ошибся.

И соответственно вопрос. "Пролезет" ли такой стол? Или для этого необходимо делать вторую поверхность также эллиптической?

Ну и является ли это решение экстремумом?

Подскажите, где я ошибаюсь?

Для приблизительной оценки.
Возможные расчетные варианты (не исключены и другие):

Судя по всему, чтобы предложенный стол пролез, вторая поверхность тоже должна быть эллиптической. Это видно из того, что Мгновенный Центр Вращения (МЦВ) перемещается при прохождении стола. Соответственно, построив траекторию МЦВ, можно определить параметры внутреннего эллипса.
И иследовать на экстремум.

К сожалению, я не владею аппаратом вычислений так же виртуозно, как и zenker. Поэтому просил бы его по мере возможности исследовать эту проблему.

* Конечно. Не только максимальный стол (как и в Вашем столе-Z есть параметр L.)
* И конечно нет, не вокруг одного центра.
* И нет, я же не настаиваю что 2.20... верный ответ. Я просто пересказал Вам всем то, что слышал 25 лет назад. Я же выше упомянул что это число абслоютно безосновательно.

Итак, процедура:
1. Для всех значений х от 0 до 1 делать следующее:
2. взять стол типа , где х - размер жертвы бежевого треугольника.
3. установить стол в середину пути. (Обьект стола может быть либо растровым - т.е. много клеточек бумаги, по 0.000001Р - и мы их будем впоследствии терять. Либо векторным - так дети соединяют точки по номерам и получают рисунок.)
4. малыми перемешениями центра стола x(t), y(t), и его вращения ф(t), где t-время - вывести стол назад в коридор. Решать похоже придется численно в пространстве трехмерной функции (x,y,ф)(t). Можно считать, что ф(t) это линейная функция, т.е. поворачиваем и одновременно выносим в коридор на каждой доле градуса поворота стола теряя как можно меньше стружек с края стола (отрезает части стола сам коридор). Почти уверен что ф(t) можно считать монотонной функцией*. Тогда от t вообще можно избавиться и только решать в пространстве двумерной функции (x,y)(ф), где ф меняется от 45º до 0.
5. Т.е. меняем 45º на 44.99º (поворачиваем стол на 0.01º) и ищем оптимальные значения dx,dy, чтобы срезать пришлось минимальное количество стола. (При этом срезаем как левую, так и правую часть стола, так как вторая часть путешествия стола - аналогична).
6. Повторяем шагами по 0.01º еще 4499 раз. Стол с какими то потерями - попал в коридор. Замеряем площадь.
7. Повторяем с иной стратегией. (Тут может быть применено множество приемов.
8. Закончив с определенным значением х - повторяем цикл от пункта 2.

Это эвристическая оптимизация функционала. (Т.е. функции, определенной на пространстве функций.) Точное решение сложнее.

Вот. Программисты в зале есть?
___________________

*Есть класс задач, в которых монотонность ф(t) не гарантирована. Пример - задача о развороте иголки длины 1 в фигуре минимальной плошади S. Ответ был найден в 80-х, кажется, и оказался шокирующим. S сколь угодно близко к нулю. Но фигура становится фрактальным монстром, полным дыр, и иголка в нем ходит на огромные расстояния! ...и не врашается всегда в одну и ту же сторону, хотя в конце концов - разворачивается на 360º. НО наш стол, я надеюсь, должен быть односвязным! :-) Это уже было обговорено.

Абсолютно согласен с Вами, Дядя Сергей!

Решение можно получить двумя путями, итеррационным и аналитическим.

Пока в плане аналитическом я вижу 2 подхода у людей, заинтересовавшихся этой задачей.

1. Сделать прямой поверхность стола, соприкасающуюся с ВНЕШНЕЙ стеной коридора при поступательном движении.
2. То же самое, но соприкасающуюся с ВНУТРЕННЕЙ стеной коридора.

И в обоих случаях попытаться получить фигуру максимальной площади.

У меня нет абсолютно никакой уверенности, что один из подходов ЗАВЕДОМО проигрышный.

Более того.
Возможно правильное решение будет состоять в том, что у такого стола вообще может не оказаться прямых линий.

А вот по поводу итеррационного решения - вообще ничего не могу сказать. Хотя безусловно оно абсолютно равноправно с аналитическим.

Вот например.
Решение, предложенное Сашуном лично мне больше всего напоминает телефонную трубку от дискового телефона. Я в дальнейшем его так и буду называть - "трубка Сашуна".
Так вот если в ней каким-то определенным образом "срезать" угол, которым она касается угла коридора - вероятнее всего удастся увеличить длину этой самой трубки или добиться уменьшения внутренней эллиптической выемки.

Возможно и в варианте zenker'a, если вместо прямой, соприкасающейся с внешней стенкой коридора, воспользоваться, скажем эллипсом с большим размером полуоси, возможно удастся добиться существенного увеличения внутренней части фигуры или же ее продольного размера (длины).

Не удивлюсь, если творческое развитие этих вариантов приведет к одному результату.

Это сообщение отредактировал magystr - 18/08/2007, 16:46