Конечно весьма(о, да! сложно предположить, каким же будет второй ваш вопрос)))

Предчувствую что мне Вами, мистер Ленг, предписано будет явиться "чуть позже",
(в классически неуказанное время) чтобы выслушать что-то вроде вопроса небезызвестного следователя: "Вы маляр?" )))))

Отвечаю на первый - да, я не вижу никаких причин, мешающих этому
красному колёсику(1 штука) _так_ двигаться в коридоре(1 штука).
(...предваряя кафкианский сюр - в свою очередь хочу спросить - когда я явлюсь для получения 2ого вопроса
а вы(слегка раскачиваясь на носках) будете стоять, держась за низкую притолоку - будет ли
на вашем мундире хотя бы 2(две) золочёные, круглые пуговицы..?
...ну или пообещайте мне хотя бы, что не будете заставлять - какого-нибудь забежавшего студента -
заносить жену служителя на чердак)))

Ваша реалистичная картинка одинокого катящегося круга мне понравилась весьма!
В свою очередь, кроме гвоздя, внезапно остановившего полёт вашего одинокого шара
(совершенно безосновательно - согласно вашим утверждениям)
хочу поделиться пришедшей внезапно мне в голову картину авто,
пытающегося как-то вполне сюрреалистично заехать на угол - "проскальзывая" при этом
как-то совсем по-разному, по-кафкиански, своими двумя(жестко скреплёнными) колёсами...

И главное, мистер Ленг, хотя вас постоянно отвлекают шарниры, пластилин, красные одинокие круги в бесконечно длинных,
прямых коридорах (похожих на те, что в канцелярии известного суда), я надеюсь что вы не забудете главного
- я доказываю что известный стол НЕ пролезет, вы же утверждаете что столы ПРОЛЕЗУТ - и Изюбрский,
и ваш собственный(я поименовал его как "доведённый до абсурда Изюбрский"
так вот, пожалуйста не забудьте об этом - на повторном допросе

могу заверить что я уже переписал ваши формулы себе на листочек - до скорого)

Это сообщение отредактировал i_play_chess - 13/08/2007, 19:56

С трудом прочел то, что тут понаписано. Трудно ыбло читаь не сами формулы, а перебранки. Странно, но многие не поняли, что речь идет о столах, а не о предмете неопределнной формы. Столы же бывают прямоугольные, круглые(овальные), Г-образные (прямые и изогнутые). И все, никаких других столов нет.
Из этого и надо было исходить. Таким образов предложенная Сашуном на первой странице форма стола в виде полукольца и есть нужная форма. Вот отсюда и надо плясать, а не заниматься интеллигентсокй болтовней. Не на кухне.

PS: Есть еще офисные столы в виде ломаной, но такая форма явно не подходит в данном случае.

Это сообщение отредактировал Сазан - 13/08/2007, 22:44

Нда, ответ сурового человека)) А в мебельный заглянуть не пробовали?

Мужики, по-моему вам уже пора всё это дело на практике проверить. Взяли бы лобзик, выпилили бы эти "гантели" с кругами, и пропихивали бы в макет коридора, а то ведь мы так и не поймём, чем всё это кончится, и кто ж прав.

Достаточно нарисовать коридор на одной бумажке и вырезать "стол" ножницами из другой бумажки... )))

--------------------

С уважением, А.Малышев

Отпускные экзерсисы дилетанта

“E pur si muove!”
Galileo Galilei


ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Прежде, чем говорить о возможности перемещения вызвавшего споры упрощенного Z-стола (рис.1), а равно идейно восходящих к нему других столов zenker’а, Izubr’я и т.д., договоримся о следующих понятиях и условиях, лежащих в основании дальнейших рассуждений.

1. Исходя из условий задачи, ширина коридора Г равна P.
2. Очевидно, что через данный коридор можно свободно пронести квадрат со стороной a равной P.
3. Очевидно, что через данный коридор можно свободно пронести или перекатить круг с диаметром d равном P (или радиусом r равном P/2).
4. Очевидно, что круг с диаметром d равном P может свободно вращаться внутри коридора в плоскости стола вокруг своего центра с поступательным движением и без оного.
5. В Z-столе два круга и перемычка, образованная касательной к этим двум кругам, жестко соединены между собой в месте касания и представляют собой твердое тело.
6. Длина перемычки определяется как расстояние между двумя точками касания с кругами и равна L.
7. Очевидно, что расстояние между центрами кругов также равно L.

ИМХО дилетанта, чтобы убедиться, что Z-стол проходит через указанный коридор, нет необходимости применять знания теоретической механики и т.п. Достаточно иметь некоторое начальное понимание геометрии. В принципе такая попытка доказательства была предпринята ранее, когда был задан вопрос о возможности перемещения стола на уступе (zenker, "27/".$m["июл"]."/2007," 02:57). Но на первый же поставленный вопрос оппонент предпочел не давать прямого ответа. Сегодня мы представим наши аргументы и дополним их экспериментом.


ТЕЛЕЖКА

Для наглядности предстоящего эксперимента вместо упомянутого выше лобзика возьмем детский конструктор, рекомендованный Министерством образования РФ для уроков труда в начальных классах, и соорудим тележку, представленную на рис.2.
Заметим сразу, что колеса тележки не вращаются относительно конструкции в целом, поскольку оси колес жестко стянуты винтами со станиной и не вращаются. В свою очередь, сами колеса надеты на оси с большим натягом, поскольку предварительно на оси колес навёрнуто достаточное количество изоленты.
С учетом этого, тележка в целом представляет собой резино-пластмассовое твердое тело. Зеленая планка полностью находится в площади колес (это очевидно при виде сбоку). Красная планка-перемычка находится несколько ниже касательной, но это только ограничивает проходимость внутреннего угла коридора, и не противоречит условиям эксперимента.

Примерное представление о пропорциях исходных элементов можно получить из рис.3.

Для справки.
Тележка в натуре. Длина перемычки L примерно равна 8.5, диаметра колеса – 4.4, радиуса – колеса 2.2. Соотношение: L/r = 3.86.
Z-стол на рисунке. Соотношение: 2 * sqrt(2) * r / r = 2.83.
В данном случае перемычка тележки заведомо длиннее перемычки стола, из-за которого изначально загорелся спор.

Таким образом, при виде сбоку профиль данной тележки как раз представляет собой модель искомой плоской фигуры (Z-стола).


ЭКСПЕРИМЕНТ

Теперь для удобства эксперимента и исключения оптической иллюзии непроходимости стола ВРЕМЕННО уберем внешнюю стенку коридора, повернем внутреннюю стенку коридора на 45 градусов по часовой стрелке и поставим на нее тележку.
Теперь мы можем перемещать тележку взад и вперед вдоль условного коридора на плоскости внутренней стены, соблюдая при этом важное ТРЕБОВАНИЕ:
- в любой момент времени все четыре колеса должны касаться внутренней стены коридора.

На рисунках _4.1_, _4.2_, _4.3_, _4.4_, _4.5_, _4.6_, _4.7_ представлены отдельные положения такого перемещения.
Скачайте эти картинки к себе на компьютер и просмотрите их в виде слайд-шоу.

Для всякого непредвзятого наблюдателя очевидно, что такое движение тележки по плоскости возможно. Колеса не поворачиваются относительно станины, и тележка свободно движется, точнее даже СКОЛЬЗИТ, невзирая на резиновые колеса, по внутренней стене коридора до поворота, во время поворота и после поворота. Для скептически настроенных зрителей могу выслать видеофайл эксперимента в avi-формате. Очевидно также, что Z-стол ровно таким же образом свободно СКОЛЬЗИТ по внутренней стенке коридора Г.

Прежде всего, СКОЛЬЗИТ!
Точно так же, как СКОЛЬЗИТ единичный квадрат по коридору (сначала вверх, потом направо).
Точно так же, как может СКОЛЬЗИТЬ (или катиться, или скользить и как-то поворачиваться) одинокий круг по коридору.
Точно так же как СКОЛЬЗИТ (и как-то поворачивается) четвертушка круглого и половинка эллиптического колец Сашуна внутри коридора.

Естественно, что при таком скольжении, когда колесные пары тележки находятся на разных плоскостях внутренней стенки коридора, колеса каким-то образом «вращаются» относительно неподвижной внутренней стенки коридора, сама тележка каким-то образом поворачивается относительно той же стенки, но к (не)возможности движения тележки по внутренней стенке коридора это не имеет никакого отношения. Аналогично ведут себя синий и красный круги Z-стола.

Настало время ВЕРНУТЬ внешнюю стенку коридора на соответствующее место. Но теперь уже очевидно, что внешняя сторона коридора никоим образом не мешает движению тележки и Z-стола соответственно.
Это происходит в силу способа построения и исходных параметров стола, а также требования касания кругов внутренней стенки коридора в любой момент времени. Если мы возьмем произвольную точку стола в произвольный момент времени и опустим перпендикуляр на горизонтальную (вертикальную) часть внутренней стенки коридор (или ее продолжение), то очевидно, что расстояние от этой стенки до данной точки в сторону внешней стенки никогда не будет превышать величины диаметра круга. Таким образом, произвольная точка стола всегда находится внутри коридора. Из этого следует, что наш стол в любой момент времени находится внутри коридора. При этом, как мы убедились, стол свободно и непрерывно движется. Значит, мы всегда можем найти два предельно близких положения стола в коридоре, позволяющих перевести стол из одного положения в другое. Или физики здесь возразят?


ПЕРЕМЫЧКА

Исходя из вышеизложенного, очевидно также, что ничто не мешает Z-столу скользить и при другой длине перемычки:

1. L = 0, два круга слились в один круг, ширина условной перемычки в середине равна диаметру круга (рис.5.1 легко представить).
2. L = 2 * r = 2.0, два круга касаются своими окружностями, ширина перемычки в середине не меньше радиуса круга (рис.5.2).
3. L = 2 * sqrt(2) * r = 2.828, исходный стол zenker'а, ширина перемычки в середине равна радиусу круга (рис.5.3).
4. L = 2 * (sqrt(2) + 1) * r = 4.828 , предельная длина перемычки для прохождения стола, ширина перемычки в середине равна 0 (рис.5.4).
При длине перемычки больше предельной стол не проходит.

Эти данные (пп.2-4) уже приводил ранее Leng ("30/".$m["июл"]."/2007," 02:42).

Пользуясь случаем, благодарю Leng'а за расчетные данные и прекрасно выполненные рисунки!
На основе предоставленных расчетных данных и параметрических формул построил такие же графики и несколько интересных похожих. Вот только семейство зелененьких огибающих пока не получилось…

Пройдя беглый курс краткого курса теоретической механики )) пытаюсь построить траекторию мгновенного центра вращения Z-стола как единого целого в процессе его движения по коридору. Может я ошибаюсь, но он никак не может находиться в центре синего круга...

Из рисунков примечательных случаев видно, что форма внутреннего изгиба и крайних лепестков меняются при изменении длины перемычки L. В принципе, на это, кажется, уже кто-то указывал, исходная форма стола и его положение относительно коридора в любой момент времени полностью определяются длиной отрезка, соединяющего центры кругов, и движением концов этого отрезка по линии, отстоящей в каждый данный момент от внутренней стенки на величину радиуса круга. Соответственно траектория движения центров кругов в вертикальном (горизонтальном) коридоре – центральная ось коридора, в угловом квадрате – четверть окружности радиусом r (центр окружности - угол внутренней стенки).

Важное замечание. Все тележки с точки зрения эксперимента подобны друг другу в тех случаях, когда формообразующие круги не пересекаются, т.е. при длине перемычки не менее 2*r. Мы говорим, что стол проходит, если длина перемычки находится в интервале от L = 2*R до L = 2 * (sqrt(2) + 1) * r. Проходит ли стол при L < 2*r, не берусь утверждать. Слишком велика иллюзия непроходимости, довлеющая над всеми нами.

В случае достаточной длины перемычки от визуальной иллюзии застревания избавляюсь следующим образом: принимаю во внимание только вертикальную и горизонтальную составляющую движения стола и прежде всего кругов. Исключаю из внимания, что стол и круги еще каким-то образом поворачиваются. Тогда становится просто. Понимаешь, что для любого вертикального сдвига синего круга вверх, всегда можно подобрать соответствующий сдвиг красного круга вправо – имеется в виду, как показывает дискуссия, особо тяжелый случай, когда красный стол достиг верхней стенки коридора. Продернул вправо, и порядок. И ясно, что при этом что-то провернется… И проскользнет…


ВЫВОД

Все вышеперечисленные Z-столы с двумя полными кругами и им подобные проходят через коридор, при соблюдении следующих требований:
1. Выполнены условия, приведенные в начале сообщения.
2. Диаметр d = 2*r каждого из кругов стола не превышает ширину коридора.
3. Длина касательной перемычки не превышает величину 2 * (sqrt(2) + 1) * r. Как было указано, случай с длиной перемычки меньше 2*r (неполные круги) требует особого рассмотрения.
4. Профиль внутренней части перемычки не мешает проходить столу через угол внутренней стенки коридора.
5. Профиль дополнительных лепестков на краях стола не мешает прохождению стола на любой стадии движения.

ИМХО дилетанта, с учетом вышеизложенного проходимость указанных столов через коридор вполне очевидна.
Если есть какие-то изъяны в условиях эксперимента, логических рассуждениях или выводах, то буду рад указанию на них.


ПЛОЩАДЬ

Теперь бы площади посчитать… Как Z-столов, так и эллиптического полукольца Сашуна. Очевидно, имея параметры внешнего и внутреннего эллипсов (если это действительно эллипсы), расчитать площадь этого полукольца элементарно. Не знаю, правда, как с доказательством его проходимости при известных параметрах. Интересно будет, если в конечном счете площади Z-стола и S-полукольца вдруг совпадут ))…


ПРОЧЕЕ

Как представляется с учетом вышеизложенного, эти экзерсисы по расчету площади Z-стола имеют самое непосредственное отношение к исходной задаче. Более того, с учетом условий, приведенных в начале сообщения, и проведенного эксперимента радиусы синего и красного кругов могут быть равны именно a/2.

Надеюсь, что теперь я прояснил, какое, на мой взгляд, отношение к делу имеет указанный вопрос.


АНИМАЦИЯ

Интересная анимация на близкую тему: Котёнок, Коперник и астроида. В том числе показана падающая лестница, которую упоминал Сашун. Есть и другие интересные материалы по математике на этом ресурсе.

В заключении еще одна маленькая иллюстрация.

Давайте откажемся от задачи максимизации площади Z-стола и сосредоточимся только на проблеме его прохождения через коридор. Поэтому отказываемся как от изощренного внутреннего профиля перемычки – оставляем только перемычку-касательную, так и от крайних лепестков, включая уголки zenker’а, хотя они вроде бы в данном случае не помешают, и дополнительные уголки Izubr’я. Оставляем только идеальную модель Z-стола: круги плюс касательная к кругам. Длина перемычки близка к предельной, величина которой обозначена выше (например, 4.82r).

Вернемся к иллюстрации и представим:
1. Длина нашей перемычки равна длине желтого отрезка.
2. Концы желтого отрезка совпадают с центрами кругов нашей идеальной модели.
3. Просверлим небольшие отверстия в центрах наших кругов.
4. Посадим наше твердое тело на оси, торчащие из концов желтого отрезка перпендикулярно плоскости рисунка..
5. Позволим эти осям свободно вращаться внутри отверстий.
6. Концы желтого отрезка и соответственно центры кругов перемещаются по двум направляющим, совпадающим с центральными осями вертикальной и горизонтальной частей коридора.

Очевидно, что твердое тело осталось твердым телом, поскольку скрепляющая перемычка-касательная осталась на месте. Внешний контур остался прежним. Мы просто добавили еще один шарнир для удобства демонстрации.
В этом случае и сами круги, и перемычка всегда находятся внутри коридора в силу геометрического построения плоской фигуры и предварительных условий, обозначенных в начале сообщения. И ничто не мешает свободному движению (скольжению) нашей идеальной модели внутри коридора.

А теперь посмотрим, как принципиально работает эта схема в движении.


«И всё-таки она вертится!»

zenker, вопрос к вам - вы в курсе, что кроме голономных(геометрических)
связей(иными словами условий на допустимые скорости и перемещения) -
есть ещё и дифференциальные связи? то бишь, скажем, ускорения тоже не могут
быть произвольными? Т.е. что отнюдь не любое геометрически допустимое
движение является возможным?

(я то думаю что возможно для доказательства невозможности проноса
Изюбро-Ленговских столов достаточно написать ускорения точек -
навскидку схема по идее такая:
пытаемся двигать стол по Ленговской траектории. Очевидно, что если движение
возможно, мы можем двигать стол по траектории так, чтобы точка являющаяся
центром нижнего круга перемещалась с постоянной скоростью -
то бишь весь путь до пересечения этой точкой горизонтальной прямой -
нижней границы вертикального коридора - ускорение этой точки ровно ноль.
При этом центр верхнего круга обязан будет двигаться с ускорением,
причём направленным СТРОГО горизонтально - ибо центр верхнего круга
двигается строго горизонтально - и вот тут и нужно написать условия на
ускорения этого ТТ - благо в каждый момент мы знаем положение мгновенного
центра вращения. Как время появится я это проделаю и напишу.)

я вот вижу Owen читает эту тему - и как физика
(как грится, физик - человек видящий решение, не решая задачи(с)Фейнман)
прошу его подумать над задачей и высказаться

btw, траектория мгновенного центра вращения находится очень просто -
проведите перпендикуляры от центров кругов - есс-но он будет находиться
внутри угла коридора - по ходу движения отдаляясь от вертикальной стены и приближаясь к
горизонтальной.

вращая тележку на одиноком углу - или двигая вырезанный картонный стол
вы ведь не двигаете твёрдое тело в коридоре.
То, что вы можете вписать нечто в коридор(как бы "загрузить сверху"
конечно, абсолютно не гарантирует движения, как и любое слайд шоу..

это к вот такого вида утверждениям\соображениям:


zenker:
" Тогда становится просто. Понимаешь, что для любого вертикального сдвига синего круга вверх, всегда можно подобрать соответствующий сдвиг красного круга вправо – имеется в виду, как показывает дискуссия, особо тяжелый случай, когда красный стол достиг верхней стенки коридора. Продернул вправо, и порядок. И ясно, что при этом что-то провернется… И проскользнет…"


Это сообщение отредактировал i_play_chess - 17/08/2007, 10:49

я вам нашёл точку О двигающуюся ВВЕРХ, точку О' двигающуюся ГОРИЗОНТАЛЬНО ВПРАВО, и третью точку твёрдого тела(НА РУЧКЕ) - у которой скорость ноль.
ВСЁ В ЛАБОРАТОРНОЙ СИСТЕМЕ, СВЯЗАННОЙ НАМЕРТВО С КОРИДОРОМ.

IPC, пожалуйста, прочитай текст, который ниже, и проделай все вычисления. Они очень простые. Если ты ответишь мне, не проделав всех этих выкладок, я не буду больше отвечать тебе в этой теме. Чес-слово, ничего личного.
Итак.
Есть диск радиуса R, катится он вправо по горизонтальной плоскости со скоростью v, вращаясь вокруг своего центра с угловой скоростью w=2v/R по часовой стрелке, т.е. катится с проскальзыванием.
Все координаты я буду писать относительно центра колеса, считая ось x направленной горизонтально вправо, а ось y вертикально вверх. Начало отсчета, повторюсь, в центре колеса, но СО привязана не к колесу (в котором не было бы поступательного движения, а только вращение), а к неподвижной поверхности. Просто рассматривается мгновение, когда начало координат и центр колеса совпадают.

Чему равна скорость точки O, являющейся центром вращения? Очевидно, вращательной компоненты нет, поступательная есть, скорость v, направлена вправо.
Чему равна скорость точки A с координатами (0, -2R/3)? Надо считать.
vA = vпост + vвращ = (v,0) + (тут векторное произведение, конечно, но мы сразу в проекциях напишем) + ((-2R/3) * (2v/R), 0) = (v,0) + (-4v/3,0) = (-v/3, 0).
То есть точка A (2/3 дороги вниз от центра колеса к касанию поверхности) имеет мгновенную скорость сугубо назад.

Чему равна скорость точки B с координатами (0, -R/2)?
Аналогичные вычисления дают - нулю.

Чему равна скорость точки C с координатами (-R/sqrt(2), -R/sqrt(2) )?
Считаем.
Скорость поступательного движения, как мы раскладываем, все также (v,0).
Вращательное движение же (оно влево-вверх, очевидно) надо раскладывать на компоненты. Тут, если честно все посчитать, а я напомню, что скорость из радиус-вектора и угловой скорости получается сугубо векторным умножением первого на второе, получится
vвращ = (-v,v)
То есть мгновенная скорость данной точки, являющаяся суперпозицией вращения и поступательного движения, направлена строго вверх.

Итак, для такого вот немудреного колеса я нашел три точки, мгновенная скорость которых для одной строго вертикальна, для одной строго горизонтальна, для одной строго равна нулю.

Верен ли будет мой вывод, что такое движение невозможно?

И еще пара формулировок с претензией на строгость.
Утверждение раз. Плоское движение любого твердого тела может быть в любой момент представлено суперпозицией двух движений - поступательного движения любой наперед заданной точки и вращения вокруг этой самой наперед заданной точки.
Утверждение два. У любого твердого тела в любой момент плоского движения можно выделить точку, мгновенная скорость которой равна нулю. Точка при этом может не принадлежать твердому телу (т.е. быть "вне" ). При этом все движение твердого тела при разложении на вращение и поступательное движение окажется сугубо вращением. Точка называется мгновенной осью вращения.

А каких это школьников учат про четыре силы? Нормальных школьников учат про силу реакцию опоры, силу земного притяжения, и силу трения.

Сколько тел, столько сил, Сашун абсолютно прав. Просто движение утюга удобно рассматривать в повернутой СК, чтобы одна ось шла вдоль поверхности, другая перпендикулярно. Ну вот и раскладывают одну силу реакции поверхности на две компоненты - силу нормальной реакции и силу тангенциальной реакции, называемую силой трения.

Это сообщение отредактировал Owen - 17/08/2007, 10:54