1) А если мизерящий НЕ может предсказать стратегию ловли, что тогда выгоднее сносить ???
В ЭТОМ-то И ВЕСЬ ВОПРОС !

В таком случае, на мой взгляд, выгоднее иметь 50% успеха на случайном сносе. Такой снос имеет ряд преимуществ в игровом и психологическом смысле.

Великий замысел игры в том, чтобы стремиться к ситуации, когда можно предсказать стратегию ловли в позиции мизериста и предсказать стратегию сноса в позиции ловцов. Все что вне этого замысла - является абстрактной математической задачей и в общем случае не может претендовать на настоящее оптимальное игровое решение.

Поэтому, прогноз стратегий противоборствующих сторон является ключевым фактором при решении данного типа задач.

Мое мнение, что если такого прогноза нет, то следует стабилизировать игровое решение, то есть, сделать его независимым от влияния противника.

Я не в курсе об этом противоречии. Но опять же, я не разбирал анализ Вадима.

Зависит от того, на сколько % известна. Тут много нюансов, например, длина паровоза.
Однозначно ответить невозможно. Можно параметризовать стратегию сноса и из нее вывести стратегию ловли в зависимости от раскладной ситуации.

ps:
Важно понять, что тут есть только одна "чистая" стратегия у обоих сторон - это случайный снос и случайная ловля. И то и то дает 50% успеха.
Даже если соперник знает о ней, то не получит никакого преимущества.

Любые другие "чистые" стратегии будут проигрывать, если соперник сможет их спрогнозировать с достаточной вероятностью.


Остальные случаи - это случаи смешанной стратегии, которая основана на прогнозировании действий соперника.


--------------------

the elephant has you..

В исправленной версии:
- исправлена ошибка, указанная Кутруповезет
- исправлено значение коэффициента отдачи, если 9 не ловится
- Паровозность вместо 5 считается равной 5,5
Так как ответ изменился не принципиально, новую тему можно и не открывать.
Смыла в дальнейших уточнениях не вижу, учитывая ограниченность модели (неучёт торговли, переходов)

Часть 1

Посмотрим сначала имеет ли смысл вообще думать о варианте оставления Т9. Для этого представим, что ловящие просто игнорируют такую возможность. Получит ли мизерящий тогда выгоду от оставления Т9?

Пусть при розыгрыше мизера 78910В_78910_Т9_ Т мизерящий всё время использует «хитрый» снос В пик , Т черв, а ловящие всё время ловят по «оптимальной» бесхитростной стратегии. Не ловится 9-ка в при сносе в её масти в 37% случаев, «оптимально» ловить её с частотой 1/(2*0,63) = 79% случаев. То есть при наличии выбора 79% ловят 9 буб, 21% черв. Если 9буб не ловится - всегда ловят Тчерв. С вероятностью s (требует отдельных вычислений или эмпирических знаний) мизерящему в случае, когда ловят 9-ку буб, удастся перехватить тузом и отдаться 9-кой, уменьшив количество взяток. Взамен, когда при наличии выбора ловят Т черв вместо чистого получится 1 взятка с вероятностью s и паровоз (на 1 меньше) с вероятностью (1-s) . (Строго говоря s тут несколько другое чем при ловле 9 сразу, но пренебрежём для простоты оценки разницей). Если же 9 изначально не ловится, мизерящий пронесёт туза буб и выскользнет чистым (возможностью ловящих превратить 9ку в ловленную тоже пренебрежём).
Размер паровоза оценим в 5,5 взяток во всех случаях.

Пусть 9 не ловится, тогда ловящие всегда ловят Т черв, и мизерящий всегда чист. Удельный доход мизерящего Д:
Д1= 0,37

Если 9 ловится, и ловящие ловят 9, мизерящий иной раз перехватит - отдаст :
Д2 = -0,63*0,79* (s + (1-s)*5,5) = -0,498* (5,5-4,5*s)

Если 9 ловится, а ловящие ловят Т черв:
Д3= -0,63*0,21* (s*3,5 + (1-s)*4,5) = -0,132* (4,5-s)

Общий доход:
D = 0,37 - 2,74 +2,24*s -0,59+ 0,13*s =-2,96+2,37*s

Доход же мизерящего при равновероятном сносе тузов или Т9 составит:

D = 0,5 -2,75 = -2,25
Приравняв доходы получим критическое значение: 2,37*s = 0,71 или s= 26%

Мало сомнений в том, что убежать с 1 взяткой получится не реже чем в 26% случаях - значит финт с оставлением 9Т вполне правомерен при игре на висты, и ловящие должны модифицировать свою стратегию для получения лучшего результата. Отметим сразу же что комбинацию 10Т оставлять бессмысленно - отдаться 10-кой можно реже требуемого.

Для значения s=0.5889
D = -1,56

Часть 2

Посмотрим каких стратегий целесообразно придерживаться игрокам.

Обратим внимание, что степеней свободы у мизерящего меньше, и, видимо, применить неэксплуатируемую стратегию могут только ловящие, мизерящий же должен руководствоваться иными мотивами. Скорее всего у мизерящего единственная задача: не раскрывать своей стратегии всеми силами, так как построить неэксплуатируемую стратегию ему не удастся. У ловящих же наоборот, множество неэксплуатируемых стратегий, из которых естественным выглядит выбрать самую доходную (если конечно неизвестна стратегия мизерящего).

Строго говоря, надо ещё доказать, что эта неэксплуатируемая стратегия выгоднее любой эксплуатируемой. Проблема также может возникнуть, если для построения наиболее эффективной из неэксплуатируемых или даже вообще для получения неэксплуатируемой стратегии потребуется выйти за пределы вероятностей от 0 до 1.

Пусть мизерящий оставляет 9 буб с вероятностью p, 9 и Т буб с вероятностью v. Туз черв тогда оставлен с вероятностью (1-p-v).
Пусть, если 9 буб ловится, ловящие ловят 9 буб с вероятностью q, а 9 и Т буб с вероятностью y, и ловящие ловят Т буб с вероятность w, если 9 буб не ловится. Туза черв ловят соответственно с вероятностями (1-q-y) и (1-w) соответственно.

Обозначим как D(-9) доход мизерящего в случае когда 9 буб не ловится, и D(+9) в случае когда ловится, r - коэффициент успешной отдачи когда 9 не ловится, s - когда ловится.

А1 ) Если 9 не ловится, с вероятность w ловим Т буб

С вероятностью p+(1-p-v) = 1-v мизерящий чист
С вероятностью v*r - 1 взятка
С вероятностью v*(1-r) - 4,5 взятки (не получится отдаться при структуре в бубне после возможных проносов типа * - ***78 или * - **78 или *-*78, и симметрично на другой руке )

Если 9 не ловится, с вероятностью (1-w) ловим Т черв
С вероятностью (p+v) мизерящий чист
С вероятностью (1-p-v) 5,5 взяток

D(-9) = w*(1-v) - w*v*r - 4,5*w*v*(1-r) + (1-w)*(p+v) - 5,5*(1-p-v)*(1-w) =
= w - wv -wvr - 4,5wv + 4,5wvr + p +v -wv -wp -5,5 +5,5p +5,5v + 5,5w -5,5pw - 5,5vw =
= 6,5w - 12wv + 3,5wvr + 6,5p +6,5v -6,5wp -5,5
= p *6,5(1-w) -5,5+6,5w +v* (-12w+3,5wr+6,5)



А2) Если 9 буб ловится, ловим 9-ку буб с вероятностью q, и ловим Т_9 с вероятностью y.

С вероятностью q ловим 9 буб, тогда :

С вероятностью (1-p-v) - чистый
С вероятностью p - 5,5 взяток
С вероятностью v*s выйдет 1 взятка
С вероятностью v*(1-s) выйдет 5,5 взяток
Не получится отдаться при структуре бубны после возможных проносов типа:
78****, 78***, 78** - на любой руке
7(8)**** -8(7), 7(8)*** -8(7), 7(8)** -8(7) на нужной руке


С вероятностью y ловим Т буб

С вероятностью (1-p-v) - чистый
С вероятностью vs - 4,5 взятки
С вероятностью v*(1-s) - 5,5 взяток
С вероятностью p*s - чистый
С вероятностью p*(1-s) -5,5 взяток

С вероятностью (1-q-y) ловим Т черв

С вероятностью (1-p-v) -5,5 взяток
С вероятностью p - 0 взяток
С вероятностью v*s -3,5 взятка
С вероятностью v*(1-s) - 4,5 взятки

D(+9) = q*(1-p-v) - 5,5qp - qvs -5,5qv*(1-s) +y*(1-p-v) - 4,5*yvs -5,5yv(1-s) + yps -5,5yp*(1-s) -5,5*(1-q-y)*(1-p-v) + (1-q-y)*p - 3,5(1-q-y)*vs - 4,5*(1-q-y)*v*(1-s) =
= q - qp - qv -5,5qp - qvs - 5,5qv + 5,5qvs + y - yp - yv - 4,5yvs - 5,5yv + 5,5yvs +yps - 5,5yp + +5,5yps - 5,5 + 5,5p + 5,5v + 5,5q - 5,5qp - 5,5qv + 5,5y -5,5yp - 5,5yv + p - qp - yp - 3,5vs + +3,5qvs + 3,5yvs - 4,5v +4,5vs + 4,5qv - 4,5qvs + 4,5yv - 4,5yvs =
= 6,5q - 13qp - 7,5qv +3,5qvs + 6,5y - 13yp - 7,5yv + 0yvs + 6,5yps - 5,5 + 6,5p + v + vs =
= 6,5q + 6,5y - 5,5 +p * (-13q -13y +6,5ys+6,5) +v*(-7,5q +3,5qs -7,5y +1+s)

Часть 3

Итоговый доход мизерящего - это сумма доходов помноженных на вероятности реализации.

D = 0,353 * D(-9) + 0,647* D(+9)

Вычислим значения r и s (вычисления не приводятся)
_r=0,6105
_s= 0,5889

Всё подставим

D = -5,5 + 2,29w + 4,21q + 4,21y + p* (2,29 -2,29w -8,41q -8,41y +2,48y +4,21)+
+ v * (-4,24w +0,75w +2,29 - 4,85q +1,33q -4,85y +0,65 +0,38)
D = -5,5+2,29w+4,21q+4,21y + p*(6,5 -2,29w -8,41q -5,93y) + v*(-3,49w +3,32 - 3,52q -4,85y)

Чтобы D не зависело от p и v необходимо, чтобы значения в скобках-множителях были равны нулю.
6,5 -2,29w -8,41q -5,93y =0
-3,49w +3,32 - 3,52q -4,85y =0

Из первого:
y = (6,5 -2,29w -8,41q)/5,93
Подставляем во второе:
-3,49w +3,32 - 3,52q -4,85*(6,5 -2,29w -8,41q)/5,93 =0
-3,49w +3,32 - 3,52q -5,32 +1,87w +6,89q =0
3,37q -1,62w = 2
Очевидно w не равно 1, и q не равно 0
_q = (2+1,62w)/3,37 подставляем в выражение для у
y = (6,5 -2,29w -8,41*(2+1,62w)/3,37)/5,93
_y =1,10 -0,39w -0,84 -0,68w = 0,26 - 1,07w
Очевидно y не 1

Значение дохода для неэксплуатируемой стратегии (-5,5+2,29w+4,21q+4,21y )линейно по вероятностям ловли , связаны они друг с другом тоже линейно, значит максимум и минимум будут достигнуты на границах диапазона. Но мы уже исключили 1 для y, 1 для w , 0 для q. Значит надо проверить y=0, w=0 и q=1
Пусть y = 0 тогда w = 0,24 q=0,71 D=-1,96
Пусть w=0 тогда y=0,26 q=0,59 D=-1,92
Пусть q =1 w=0,85 y выходит за диапазон 0-1

Перепишем выражение дохода неэксплуатируемой стратегии, выразив всё через y.
_w= 0,24 - y/1,07
_q = 0,71- 0,45y
D = -5,5 +0,55 -2,14y +2,99 -1,89y +4,21y = -1,96 +0,18 y

ИТОГО:
Множество неэксплуатируемых стратегий для ловящих ограничивается диапазонами вероятностей:
y между 0 и 0,26, q от 0,59 до 0,71, w от 0 до 0,24,
связанных друг с другом формулами: y = 0,26-1,07w и q= 0,71 - 0,45y.
Доходности всех неэксплуатируемых стратегий близки.
Наиболее доходной из них является стратегия с y=0 q =0,71 w=0,24
(Если 9 ловится, то в 71% ловим её, в 29% Т черв, на Т буб не охотимся,
если 9 не ловится, то в 24% ловим Т буб, в 76 % Т черв)

Превосходство этой стратегии над любой эксплуатируемой не доказано, но ожидается.

Это сообщение отредактировал Вадим_Я - 17/01/2017, 16:18

Вадим, а можно для ленивых без цифр, а своими словами ключевые выводы анализа?

Чтобы было понятно что, зачем и в каких случаях и какая польза..

--------------------

the elephant has you..

Так написано в конце ИТОГО как раз для этого.

Вычислена оптимальная смешанная стратегия для ловящих, неэксплуатируемая, дающая фиксированный статистически результат при любой стратегии мизерящего.

(Если 9 ловится, то в 71% ловим её, в 29% Т черв, на Т буб не охотимся,
если 9 не ловится, то в 24% ловим Т буб, в 76 % Т черв)

Это сообщение отредактировал Вадим_Я - 17/01/2017, 16:22

Так пойдёт?

Что касается мизера с ТК9, он действительно сильно проще. Если будет не лень посчитаю.

Да, вполне. Спасибо. Интересный результат, надо осмыслить.

--------------------

the elephant has you..